cmmdc (320; 432) = ? Calculează cel mai mare divizor comun al numerelor, CMMDC, folosind calculatorul online

Calculează cel mai mare divizor comun, cmmdc (320; 432) = ? Metoda 1. Descompunerea numerelor întregi în factori primi. Metoda 2. Algoritmul lui Euclid.

Metoda 1. Descompunerea numerelor întregi în factori primi:

Descompunerea în factori primi a unui număr înseamnă găsirea numerelor prime care înmulțite dau ca rezultat acel număr.


320 = 26 × 5;
320 nu e prim, e număr compus;


432 = 24 × 33;
432 nu e prim, e număr compus;


* Numerele pozitive întregi care nu se divid decât cu ele însele și cu 1, se numesc numere prime. Un număr prim are doar doi divizori: 1 și el însuși.
* Un număr compus e un întreg pozitiv care are cel puțin un divizor diferit de 1 și de numărul însuși.


Calculează cel mai mare divizor comun, cmmdc:

Se înmulțesc toți factorii primi comuni, la puterile cele mai mici.


cmmdc (320; 432) = 24



cmmdc (320; 432) = 24 = 16;
Numerele au factori primi comuni.


Metoda 2. Algoritmul lui Euclid:

Acest algoritm implică operația de împărțire și calcularea resturilor.


'a' și 'b' sunt cele două numere întregi pozitive, 'a' >= 'b'.


Împarte 'a' la 'b' și obține restul, 'r'.


Dacă 'r' = 0, STOP. 'b' = CMMDC al 'a' și 'b'.


Altfel: Înlocuiește ('a' cu 'b') și ('b' cu 'r'). Revino la pasul împărțirii, de mai sus.



Pasul 1. Împarte numărul mai mare la numărul mai mic:
432 : 320 = 1 + 112;
Pasul 2. Împarte numărul mai mic la restul operației de mai sus:
320 : 112 = 2 + 96;
Pasul 3. Împarte restul de la pasul 1 la restul de la pasul 2:
112 : 96 = 1 + 16;
Pasul 4. Împarte restul de la pasul 2 la restul de la pasul 3:
96 : 16 = 6 + 0;
La acest moment, restul e zero, ne oprim:
16 e numărul căutat, ultimul rest diferit de zero.
Acesta e cel mai mare divizor comun.


Cel mai mare divizor comun:
cmmdc (320; 432) = 16

De ce răspunsul este un divizor al valorilor inițiale 'a' și 'b'?

Notă: 'a' : 'b' = 'q' + 'r' este echivalent cu ecuația: 'a' = 'q' × 'b' + 'r', unde 'q' este câtul operației.


Când valoarea finală a lui 'r' = 0, valoarea finală a lui 'b' este un divizor al valorii finale a lui 'a', deoarece 'a' = 'q' × 'b' + 0.


Mergi înapoi prin pașii anteriori și analizează fiecare ecuație, 'a' = 'q' × 'b' + 'r', și observă că la fiecare pas, valoarea finală a lui 'b' este un divizor al fiecărei valori a lui 'r' și a fiecărei valori a lui 'b' și, prin urmare, este un divizor al fiecărei valori a lui 'a'. Deci ultima valoare a lui 'b', care este ultimul rest diferit de zero, este un divizor al valorilor inițiale ale 'a' și 'b'.


De ce e răspunsul egal cu CMMDC?

Ne uităm la toate ecuațiile: 'a' = 'q' × 'b' + 'r'. După cum am văzut mai sus, valoarea finală a lui 'b' este un divizor al tuturor valorilor 'a', 'b' și 'r'.


Prin urmare, valoarea finală a lui 'b' trebuie să fie, de asemenea, un divizor al ultimei valori a lui 'r', cea care e diferită de zero. Iar valoarea finală a 'b' nu poate fi mai mare decât această ultima valoare a lui 'r'. Însă valoarea finală a lui 'b' e egală cu acea ultimă valoare a lui 'r', prin urmare valoarea finală a lui 'b' e cel mai mare divizor al valorilor inițiale ale lui ('a' și 'b'). Și prin definiție se numește cel mai mare divizor comun al numerelor.


cmmdc (320; 432) = 16 = 24;

Răspuns final:
Cel mai mare divizor comun
cmmdc (320; 432) = 16 = 24;
Numerele au factori primi comuni.

De ce avem nevoie de cel mai mare divizor comun?

Când știm cel mai mare divizor comun, CMMDC, al numărătorului și numitorului unei fracții, devine mai ușor să o simplificăm la forma echivalentă cea mai simplă, ireductibilă.



Mai multe operații de acest fel:

Calculator: calculează cmmdc, cel mai mare divizor comun

Ultimii cei mai mari divizori comuni, cmmdc, calculați

Teorie: ce este și cum se calculează cel mai mare divizor comun, CMMDC, al numerelor întregi

Dacă "t" este un divizor al lui "a", atunci în descompunerea în factori primi a lui "t" apar numai factori primi care apar și în descompunerea lui "a" și care pot avea exponenții cel mult egali cu cei care intervin în descompunerea lui "a".

De exemplu, 12 este divizorul lui 60:

  • 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
  • 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5

Dacă "t" este un divizor comun al lui "a" și "b", atunci descompunerea lui "t" în factori primi conține numai factori primi care intervin și în descompunerile lui "a" și "b", fiecare factor la o putere mai mică.

De exemplu, 12 este divizorul comun al lui 48 și 360. Din descompunerea în factori primi:

  • 12 = 22 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • Se observă că 48 și 360 au mai mulți divizori comuni: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24... Dintre ei, 24 este cel mai mare divizor comun (cmmdc) al lui 48 și 360.

Cel mai mare divizor comun al lui "a" și "b" este produsul tuturor factorilor primi care intervin în descompunerile lui "a" și "b", la puterile cele mai mici.

Pe această regulă se bazează aflarea celui mai mare divizor comun al mai multor numere, după cum reiese din exemplul de mai jos:

  • 1.260 = 22 × 32
  • 3.024 = 24 × 32 × 7
  • 5.544 = 23 × 32 × 7 × 11
  • Factorii primi comuni sunt: 2, puterea sa cea mai mică este min. (2; 3; 4) = 2; 3, puterea sa cea mai mică este min. (2; 2; 2) = 2;
  • cmmdc (1.260; 3.024; 5.544) = 22 × 32 = 252

Dacă două numere, "a" și "b", nu au alt divizor comun decât 1, cmmdc (a; b) = 1, numerele "a" și "b" se numesc prime între ele (coprime).

Dacă "a" și "b" nu sunt prime între ele, atunci fiecare divizor comun al lui "a" și "b" este și un divizor al celui mai mare divizor comun al lui "a" și "b".


Ce este un număr prim?

Ce este un număr compus?

Numerele prime până la 1.000

Numerele prime până la 10.000

Ciurul lui Eratostene

Algoritmul lui Euclid

Simplificarea fracțiilor, cum se simplifică fracțiile ordinare: pași de urmat și exemple