Calculează cmmdc, cel mai mare divizor comun al numerelor (9.060; 3.642), calculator online
Calculează cel mai mare divizor comun, cmmdc (9.060; 3.642), folosind descompunerea lor în factori primi, divizibilitatea numerelor sau algoritmul lui Euclid
Cel mai mare divizor comun și cum se calculează
Primii pași și exemple
- 1. Factorii unui număr:
- Factorii unui număr sunt numerele care sunt înmulțite pentru a obține acel număr.
- Exemple: 2 × 3 × 4 = 24; 4 × 9 = 36.
- În aceste cazuri spunem că 2, 3 și 4 sunt factori ai numărului 24. Și că 4 și 9 sunt factori ai numărului 36.
- 2. Divizibilitate:
- Un număr poate fi împărțit la oricare dintre factorii săi fără rest.
- În acest caz spunem că numărul este divizibil cu factorii săi.
- Numerele din exemplele de mai sus sunt divizibile cu factorii lor:
- 24 este divizibil cu 2, 3 și 4. Și 36 este divizibil cu 4 și 9.
- 3. Factori comuni ai mai multor numere:
- Factorii care sunt comuni pentru mai multe numere se numesc factori comuni.
- În exemplele noastre, 4 este atât un factor al lui 24, cât și al lui 36.
- 4. Cel mai mare divizor comun, CMMDC, al unor numere
- Cel mai mare divizor comun, CMMDC, este cel mai mare dintre toți factorii comuni ai acelor numere.
- 5. Cum se calculează cel mai mare divizor comun? Pasul 1.
- În exemplele noastre am putea fi tentați să spunem că 4 este cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 36. Dar să nu ne grăbim. Să încercăm să împărțim acești factori în alții cât mai mici posibil.
- 24 poate fi scris ca: 24 = 2 × 2 × 2 × 3.
- 36 poate fi scris ca: 36 = 2 × 2 × 3 × 3.
- În exemplul nostru, 2 și 3 nu pot fi descompuse în alte numere mai mici.
- 6. Numere prime:
- 2 și 3 nu pot fi împărțite în alte numere mai mici, deoarece sunt numere prime. Aceasta este însăși definiția numerelor prime:
- Un număr prim nu are alți factori decât pe 1 și pe el însuși, deoarece nu poate fi descompus în alte numere mai mici.
- Exemple de numere prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 și așa mai departe, aceasta este o listă infinită.
- 7. Cum se calculează cel mai mare divizor comun? Pasul 2.
- Am văzut că este o idee bună să descompunem numerele în factori cât mai mici posibil, scriindu-i ca produs de factori primi. Aceasta este chiar definiția descompunerii unui număr în factori primi.
- Descompunerea în factori primi a lui 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3.
- Descompunerea în factori primi a lui 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32.
- În mod firesc, următorul pas pentru a calcula CMMDC este să alegem toți factorii primi comuni ai ambelor numere și să-i înmulțim:
- CMMDC (24 și 36) = 2 × 2 × 3 = 22 × 3 = 12.
Calculează cel mai mare divizor comun
cmmdc (9.060; 3.642) = ?
Metoda 1. Descompunerea în factori primi:
Descompunerea în factori primi a unui număr: găsirea numerelor prime care se înmulțesc pentru a obține acel număr.
9.060 = 22 × 3 × 5 × 151
9.060 nu este un număr prim, ci unul compus.
3.642 = 2 × 3 × 607
3.642 nu este un număr prim, ci unul compus.
* Numerele naturale care sunt divizibile doar cu 1 și cu ele însele se numesc numere prime. Un număr prim are exact doi divizori: 1 și el însuși.
* Un număr compus este un număr natural care are cel puțin un alt divizor decât 1 și el însuși.
Calculează cel mai mare divizor comun:
Înmulțește toți factorii primi comuni, la puterile lor cele mai mici (cu exponenții cei mai mici).
Cel mai mare divizor comun,
cmmdc (9.060; 3.642) = 2 × 3 = 6
Cele două numere au factori primi comuni.
Derulează în jos pentru a 2-a metodă...
Metoda 2. Algoritmul lui Euclid:
Acest algoritm implică procesul de împărțire a numerelor și calcularea resturilor.
'a' și 'b' sunt cele două numere naturale, 'a' >= 'b'.
Împărțim 'a' la 'b' și obținem restul operației, 'r'.
Dacă 'r' = 0, STOP. 'b' = cmmdc pentru 'a' și 'b'.
Altfel: Înlocuim ('a' cu 'b') și ('b' cu 'r'). Revenim la pasul de mai sus.
Pas 1. Împărțim numărul mai mare la numărul mai mic:
9.060 : 3.642 = 2 + 1.776
Pas 2. Împărțim numărul mai mic la restul operației de mai sus:
3.642 : 1.776 = 2 + 90
Pas 3. Împărțim restul de la pasul 1 la restul de la pasul 2:
1.776 : 90 = 19 + 66
Pas 4. Împărțim restul de la pasul 2 la restul de la pasul 3:
90 : 66 = 1 + 24
Pas 5. Împărțim restul de la pasul 3 la restul de la pasul 4:
66 : 24 = 2 + 18
Pas 6. Împărțim restul de la pasul 4 la restul de la pasul 5:
24 : 18 = 1 + 6
Pas 7. Împărțim restul de la pasul 5 la restul de la pasul 6:
18 : 6 = 3 + 0
La acest pas, restul este zero, așa că ne oprim:
6 este numărul pe care îl căutăm - ultimul rest diferit de zero.
Acesta este cel mai mare divizor comun.
Cel mai mare divizor comun:
cmmdc (9.060; 3.642) = 6 = 2 × 3
Cele două numere au factori primi comuni
De ce este util să calculăm cel mai mare divizor comun?
După ce ați calculat cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului unei fracții, devine mult mai ușor să simplificați fracția la cea mai simplă formă echivalentă, ireductibilă (cel mai mic numărător și numitor posibil, care sunt numere prime între ele).
Alte operații similare cu cel mai mare divizor comun: