Descompunerea numărului compus 12.458 în factori primi, scrisă ca produs de numere prime
Descompunerea în factori primi a numărului compus 12.458
Descompunerea în factori primi a unui număr: găsirea numerelor prime care se înmulțesc pentru a obține acel număr. Exemplu: 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3.
Număr prim: un număr natural care e divizibil (se împarte fără rest) numai cu 1 și cu el însuși. Un număr prim are doar doi divizori: 1 și numărul însuși. Exemple: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Număr compus: un număr natural care are cel puțin un divizor diferit de 1 și de el însuși. Un număr compus are cel puțin trei divizori. Un număr compus este, de asemenea, un număr care nu este număr prim. Exemple: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16.
Numerele 0 și 1 nu sunt considerate nici numere prime, nici compuse.
12.458 se poate scrie ca produs de numere prime. Cum?
12.458 nu este număr prim, ci compus.
Descompunerea în factori primi a numărului compus 12.458:
Descompunerea în factori primi a unui număr, cum se face?
Să învățăm printr-un exemplu: - Să luăm numărul 220 și să-i construim descompunerea în factori primi
Avem nevoie de cele mai mici numere prime, ordonate crescător, de la 2 până la, să zicem, 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Numerele prime sunt elementele de bază ale numerelor compuse.
1. Începem prin a împărți 220 la cel mai mic număr prim, 2: 220 : 2 = 110; rest = 0 => 220 este divizibil cu 2 => 2 este un factor prim al lui 220: 220 = 2 × 110.
Articolul continuă mai jos...
2. Împărțim rezultatul operației anterioare, 110, la 2, din nou: 110 : 2 = 55; rest = 0 => 110 este divizibil cu 2 => 2 este un factor prim al lui 110: 220 = 2 × 110 = 2 × 2 × 55.
3. Împărțim rezultatul operației anterioare, 55, la 2, din nou: 55 : 2 = 27 + 1; rest = 1 => 55 nu este divizibil cu 2.
4. Trecem la următorul număr prim, 3. Împărțim 55 la 3: 55 : 3 = 18 + 1; rest = 1 => 55 nu este divizibil cu 3.
5. Trecem la următorul număr prim, 5. Împărțim 55 la 5: 55 : 5 = 11; rest = 0 => 55 este divizibil cu 5 => 5 este un factor prim al lui 55: 220 = 2 × 2 × 55 = 2 × 2 × 5 × 11.
6. Observăm că factorul rămas, 11, este un număr prim, așa că am găsit deja toți factorii primi ai lui 220.
Concluzie, descompunerea în factori primi a lui 220: 220 = 2 × 2 × 5 × 11. Aceasta poate fi scrisă într-o formă condensată, în scrierea cu puteri (cu exponenți): 220 = 22 × 5 × 11.
Calculator online: Număr prim sau nu? Descompunerea în factori primi
Descompunerea în factori primi a unui număr N = Împărțirea numărului N în numere mai mici, prime. Înmulțind apoi aceste numere prime se obține numărul N. În urma procesului de descompunere numărul N este scris ca produs de numere prime.
Un număr prim este un număr natural care este divizibil doar cu 1 și cu el însuși. Numărul 1 nu e considerat număr prim.
Numere prime. Numerele compuse. Descompunerea în factori primi a numerelor compuse
Descompunerea în factori primi a unui număr: găsirea numerelor prime care se înmulțesc împreună pentru a rezulta acel număr.
Teorema fundamentală a aritmeticii spune că fiecare număr întreg mai mare decât 1 poate fi scris ca produs al unuia sau a mai multor numere prime, într-un mod care este unic, cu excepția ordinii factorilor primi.
Numărul 1 nu este considerat prim, deci cel mai mic număr prim este 2.
Dacă numărul 1 ar fi considerat număr prim, atunci descompunerea în factori primi a numărului 15 s-ar putea scrie fie: 15 = 3 × 5 sau 15 = 1 × 3 × 5 - aceste două reprezentări ar fi considerate descompuneri diferite în factori primi ale aceluiași număr, deci teorema de mai sus nu ar mai fi fost validă.
Numerele naturale care se împart fără rest doar la 1 și la ele însele se numesc numere prime.
Exemple de numere prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 și așa mai departe.
Dacă un număr este prim, nu poate fi descompus în alți factori primi, este divizibil doar cu 1 și cu el însuși. În acest caz, 1 și numărul însuși se numesc divizori improprii.
Un număr compus este un număr natural care are cel puțin un alt divizor decât 1 și numărul însuși. Dacă numărul 1 și numărul însuși se numesc divizori improprii, toți ceilalți divizori se numesc divizori proprii, ex: 8 are doi divizori impropii, 1 și 8, și doi divizori proprii: 2 și 4.
Un număr compus este, de asemenea, orice număr natural mai mare decât 1 care nu este număr prim.
Exemple de numere compuse: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26 și așa mai departe.
Un număr prim nu poate fi descompus în alți factori primi, dar un număr compus poate, după cum se vede mai jos:
Exemplul 1: 6 este divizibil cu 6, 3, 2 și 1, deci 6 nu este număr prim, este număr compus. 6 poate fi scris sub formă de produs în moduri diferite, cum ar fi: 6 = 1 × 6 sau 6 = 1 × 2 × 3 sau 6 = 2 × 3. Dar descompunerea lui 6 în factori primi, mai puțin ordinea factorilor, este întotdeauna aceeași, produsul dintre 2 și 3, indiferent de ordinea în care scriem produsul: 6 = 2 × 3 (sau 6 = 3 × 2).
Exemplul 2: 120 poate fi scris ca produsul unor factori în moduri diferite, fi ca 120 = 4 × 30 sau 120 = 2 × 2 × 2 × 15 sau 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5. Descompunerea lui în factori primi este însă întotdeauna: 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5 - ultima formă de scriere este forma condensată, cu exponenți, a primei forme, mai lungă.
Notă: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Spunem că 2 a fost ridicat la puterea a 3-a, sau, mai scurt, spunem: 2 la puterea a 3-a, sau, și mai scurt, 2 la a 3-a. În acest exemplu, 3 este exponentul și 2 este baza. Exponentul indică de câte ori se înmulțește baza cu ea însăși. 23 este puterea și 8 este valoarea puterii.
De ce este important să știm despre descompunerea în factori primi a numerelor?
Descompunerea în factori primi este utilă atunci când se calculează cel mai mare divisor comun, cmmdc, al numerelor.
CMMDC este necesar pentru simplificarea fracțiilor la forma cea mai simplă, ireductibilă.
Descompunerea în factori primi este utilă atunci când se calculează cel mai mic multiplu comun, cmmmc, al numerelor - acest lucru este necesar atunci când se adună sau se scad fracții, de exemplu...
Și exemplele ar putea continua (cu aplicabilitate în divizibilitatea numerelor, sau la calcularea tuturor divizorilor unui număr pornind de la descompunerea lui în factori primi etc.).
Exemple de mai multe numere prime:
181 este divizibil doar cu 181 și 1, deci 181 este un număr prim.
2.341 este divizibil doar cu 2.341 și 1, deci 2.341 este număr prim.
6.991 este divizibil doar cu 6.991 și 1, deci 6.991 este un număr prim.
Aceasta este lista tuturor numerelor prime, de la 1 la 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Numerele prime sunt folosite ca blocuri de bază atunci când construim descompunerea în factori primi a numerelor compuse. Deci am putea spune că numerele prime sunt într-adevăr blocurile componente ale numerelor compuse.