Descompunerea numărului compus 19.121.841, ca produs de factori primi, în scrierea cu exponenți (factor ridicat la putere)

Este 19.121.841 un număr compus sau un număr prim? Care este descompunerea în factori primi? Cum se scrie ca produs de factori primi, în scrierea cu exponenți (factor ridicat la putere)?

Descompunerea numărului în factori primi

Descompunerea în factori primi a unui număr înseamnă găsirea numerelor prime care înmulțite dau ca rezultat acel număr.


* Numerele pozitive întregi care nu se divid decât cu ele însele și cu 1, se numesc numere prime.
* Un număr compus e un întreg pozitiv care are cel puțin un divizor diferit de 1 și de numărul însuși.



19.121.841 nu e prim, e număr compus.
19.121.841 poate fi scris ca produs de numere prime:
19.121.841 = 3 × 3 × 59 × 36.011

în scrierea cu exponenți (factor ridicat la putere): (*)
19.121.841 = 32 × 59 × 36.011

Notă:

(*) Un număr în scrierea cu exponenți - e o bază ridicată la un exponent (se spune: baza ridicată la puterea exponentului); acest exponent arată de câte ori e folosită baza ca factor, ex: 53 = 5 × 5 × 5 (în acest caz spunem că 5 e ridicat la puterea 3, sau mai scurt, 5 la puterea 3).


Numerele prime sunt elementele de bază ale tuturor numerelor, cu excepția lui 0 și 1.


Numerele compuse sunt formate din numere prime care se înmulțesc împreună.



Cum se descompune un număr în factori primi. Continuarea mai jos.

Să învățăm printr-un exemplu:
Luăm numărul 220 și îl descompunem în factori primi

Avem nevoie de lista primelor numere prime, ordonate de la 2 până la, să zicem, 20:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Numerele prime sunt elementele de bază ale numerelor compuse.


1. Începe prin a împărți 220 la cel mai mic număr prim, 2:
220 : 2 = 110; rest = 0 =>
220 e divizibil cu 2 => 2 e un divizor al lui 220:
220 = 2 × 110.


2. Împarte rezultatul operației anterioare, 110, la 2, din nou:
110 : 2 = 55; restul = 0 =>
110 e divizibil cu 2 => 2 e un divizor al lui 110:
220 = 2 × 110 = 2 × 2 × 55.


3. Împarte rezultatul operației anterioare, 55, la 2, din nou:
55 : 2 = 27 + 1; restul = 1 =>
55 nu e divizibil cu 2.


4. Treci la următorul număr prim, 3. Împarte 55 la 3:
55 : 3 = 18 + 1; restul = 1 =>
55 nu e divizibil cu 3.


5. Treci la următorul număr prim, 5. Împarte 55 la 5:
55 : 5 = 11; rest = 0 =>
55 e divizibil cu 5 => 5 e un divizor al lui 55:
220 = 2 × 2 × 55 = 2 × 2 × 5 × 11.


6. Observăm că termenul rămas, 11, este un număr prim, așa că putem spune că am găsit toți factorii primi ai lui 220.


Concluzie, descompunerea lui 220 în factori primi:
220 = 2 × 2 × 5 × 11.
Aceasta poate fi scrisă într-o formă condensată, cu exponenți:
220 = 22 × 5 × 11.

Răspuns final:
19.121.841 nu e prim, e număr compus.
Descompunerea numărului în factori primi, ca produs de factori primi:
19.121.841 = 3 × 3 × 59 × 36.011
Descompunerea numărului în factori primi, în scrierea cu exponenți (factor ridicat la putere):
19.121.841 = 32 × 59 × 36.011

Un număr compus e un întreg pozitiv care are cel puțin un divizor diferit de 1 și de numărul însuși.


Numerele pozitive întregi care nu se divid decât cu ele însele și cu 1, se numesc numere prime.


Un număr în scrierea cu exponenți - e o bază ridicată la un exponent (se spune: baza ridicată la puterea exponentului); acest exponent arată de câte ori e folosită baza ca factor, ex: 53 = 5 × 5 × 5 (în acest caz spunem că 5 e ridicat la puterea 3, sau mai scurt, 5 la puterea 3)


Mai multe operații de acest fel:


Calculator: descompunerea numerelor în factori primi

Ultimele numere descompuse în factori primi

Teorie: Descompunerea numerelor întregi compuse, în factori primi

Teoria fundamentală a aritmeticii spune că orice număr întreg mai mare decât 1 poate fi scris ca produsul unic a unu sau mai multe numere prime, mai puțin ordinea factorilor primi.

1 nu e considerat număr prim, așa că lista numerelor prime începe cu numărul 2. Dacă 1 ar fi considerat număr prim, numărul 15, de exemplu, ar putea fi descompus în două moduri diferite, ca 3 × 5 și ca 1 × 3 × 5; aceste două reprezentări ar fi considerate ca descompuneri diferite ale numărului 15 în numere prime, iar enunțul teoremei de mai sus ar trebui să fie modificat.

Numerele pozitive întregi care se divid doar cu ele însele și cu numărul 1 se numesc numere prime. Dacă un număr este prim, atunci acesta nu poate fi descompus în alți factori primi, acesta se divide doar cu 1 și cu numărul însuși, iar aceștia sunt numiți și divizori improprii. Unii consideră că 1 nu este divizor impropriu.

Un număr compus este un întreg pozitiv care are cel puțin un divizor diferit de 1 și de numărul însuși. Un număr compus este orice număr pozitiv mai mare decât 1 care nu e număr prim.

Un număr prim nu poate fi descompus în factori primi, dar un număr care nu e prim (număr compus) poate fi, după cum se poate vedea mai jos:

Exemplul 1: 6 e divizibil cu 6, 3, 2 și 1, așadar 6 nu e număr prim, este compus; 6 poate fi descompus în factori în mai multe feluri: ca 1 × 6, sau 1 × 2 × 3, sau 2 × 3; însă descompunerea în factori primi este întotdeauna aceeași: 6 = 2 × 3.

Exemplul 2: 120 poate fi descompus în mai multe feluri, ca 4 × 30 sau 2 × 2 × 2 × 15 sau 2 × 2 × 2 × 3 × 5; însă descompunerea în factori primi este întotdeauna aceasta: 120 = 23 × 3 × 5; - aceasta este forma de scriere condensată, cu exponenți, a versiunii mai lungi: 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5.

Descompunerea numerelor întregi este importantă de știut pentru că ajută la calcularea celui mai mare divizor comun, CMMDC - necesar atunci când simplificăm fracții ordinare, sau la calcularea celui mai mic multiplu comun, CMMMC, a două sau mai multor numere - necesar atunci când se adună sau se scad fracții ordinare pentru a le putea aduce la același numitor, etc.

Exemple de numere prime: 2 este divizibil doar cu 2 și cu 1, deci 2 este număr prim; 13 este divizibil doar cu 13 și cu 1, deci 13 este număr prim;

Iată lista cu numere prime (toate), de la 2 până la 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. E important de menționat că pe baza numerelor prime se construiește descompunerea în factori primi a numerelor compuse.


Ce este un număr prim?

Ce este un număr compus?

Numerele prime până la 1.000

Numerele prime până la 10.000

Ciurul lui Eratostene

Algoritmul lui Euclid

Simplificarea fracțiilor, cum se simplifică fracțiile ordinare: pași de urmat și exemple