Numere prime. Numerele compuse. Descompunerea în factori primi a numerelor compuse
- Descompunerea în factori primi a unui număr: găsirea numerelor prime care se înmulțesc împreună pentru a rezulta acel număr.
- Teorema fundamentală a aritmeticii spune că fiecare număr întreg mai mare decât 1 poate fi scris ca produs al unuia sau a mai multor numere prime, într-un mod care este unic, cu excepția ordinii factorilor primi.
- Numărul 1 nu este considerat prim, deci cel mai mic număr prim este 2.
- Dacă numărul 1 ar fi considerat număr prim, atunci descompunerea în factori primi a numărului 15 s-ar putea scrie fie: 15 = 3 × 5 sau 15 = 1 × 3 × 5 - aceste două reprezentări ar fi considerate descompuneri diferite în factori primi ale aceluiași număr, deci teorema de mai sus nu ar mai fi fost validă.
- Numerele naturale care se împart fără rest doar la 1 și la ele însele se numesc numere prime.
- Exemple de numere prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 și așa mai departe.
- Dacă un număr este prim, nu poate fi descompus în alți factori primi, este divizibil doar cu 1 și cu el însuși. În acest caz, 1 și numărul însuși se numesc divizori improprii.
- Un număr compus este un număr natural care are cel puțin un alt divizor decât 1 și numărul însuși. Dacă numărul 1 și numărul însuși se numesc divizori improprii, toți ceilalți divizori se numesc divizori proprii, ex: 8 are doi divizori impropii, 1 și 8, și doi divizori proprii: 2 și 4.
- Un număr compus este, de asemenea, orice număr natural mai mare decât 1 care nu este număr prim.
- Exemple de numere compuse: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26 și așa mai departe.
- Un număr prim nu poate fi descompus în alți factori primi, dar un număr compus poate, după cum se vede mai jos:
- Exemplul 1: 6 este divizibil cu 6, 3, 2 și 1, deci 6 nu este număr prim, este număr compus. 6 poate fi scris sub formă de produs în moduri diferite, cum ar fi: 6 = 1 × 6 sau 6 = 1 × 2 × 3 sau 6 = 2 × 3. Dar descompunerea lui 6 în factori primi, mai puțin ordinea factorilor, este întotdeauna aceeași, produsul dintre 2 și 3, indiferent de ordinea în care scriem produsul: 6 = 2 × 3 (sau 6 = 3 × 2).
- Exemplul 2: 120 poate fi scris ca produsul unor factori în moduri diferite, fi ca 120 = 4 × 30 sau 120 = 2 × 2 × 2 × 15 sau 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5. Descompunerea lui în factori primi este însă întotdeauna: 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5 - ultima formă de scriere este forma condensată, cu exponenți, a primei forme, mai lungă.
- Notă: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Spunem că 2 a fost ridicat la puterea a 3-a, sau, mai scurt, spunem: 2 la puterea a 3-a, sau, și mai scurt, 2 la a 3-a. În acest exemplu, 3 este exponentul și 2 este baza. Exponentul indică de câte ori se înmulțește baza cu ea însăși. 23 este puterea și 8 este valoarea puterii.
- De ce este important să știm despre descompunerea în factori primi a numerelor?
- Descompunerea în factori primi este utilă atunci când se calculează cel mai mare divisor comun, cmmdc, al numerelor.
- CMMDC este necesar pentru simplificarea fracțiilor la forma cea mai simplă, ireductibilă.
- Descompunerea în factori primi este utilă atunci când se calculează cel mai mic multiplu comun, cmmmc, al numerelor - acest lucru este necesar atunci când se adună sau se scad fracții, de exemplu...
- Și exemplele ar putea continua (cu aplicabilitate în divizibilitatea numerelor, sau la calcularea tuturor divizorilor unui număr pornind de la descompunerea lui în factori primi etc.).
- Exemple de mai multe numere prime:
- 181 este divizibil doar cu 181 și 1, deci 181 este un număr prim.
- 2.341 este divizibil doar cu 2.341 și 1, deci 2.341 este număr prim.
- 6.991 este divizibil doar cu 6.991 și 1, deci 6.991 este un număr prim.
- Aceasta este lista tuturor numerelor prime, de la 1 la 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
- Numerele prime sunt folosite ca blocuri de bază atunci când construim descompunerea în factori primi a numerelor compuse. Deci am putea spune că numerele prime sunt într-adevăr blocurile componente ale numerelor compuse.