Simplificarea fracțiilor la cea mai simplă formă echivalentă, ireductibilă, cu cel mai mic numărător și numitor posibil
Pași pentru a simplifica o fracție la cea mai simplă formă, cea care are cel mai mic numărător și numitor posibil, numere prime între ele:
- 1) Efectuează descompunerea în factori primi atât a numărătorului, cât și a numitorului fracției.
- 2) Calculează cel mai mare divizor comun, cmmdc, al numărătorului și numitorului fracției.
- 3) Împarte atât numărătorul, cât și numitorul fracției la cel mai mare divizor comun al acestora, cmmdc.
- Fracția astfel obținută se numește fracție simplificată sau o fracție simplificată la cea mai simplă formă echivalentă.
- O fracție simplificată la cea mai simplă formă echivalentă are cel mai mic numărător și numitor posibili, care sunt numere prime între ele (coprime), ea nu mai poate fi simplificată și se numește fracție ireductibilă.
Exemplu: simplifică fracția 315/1.155 la forma cea mai simplă, ireductibilă.
1) Efectuează descompunerea în factori primi atât a numărătorului, cât și a numitorului fracției.
- Numărătorul fracției este 315, descompunerea sa în factori primi este:
315 = 3 × 3 × 5 × 7 = 32 × 5 × 7 - Numitorul fracției este 1.155, descompunerea sa în factori primi este:
1.155 = 3 × 5 × 7 × 11. 2) Calculează cel mai mare divizor comun, cmmdc, al numărătorului și numitorului fracției.
- Cel mai mare divisor comun, cmmdc (315; 1.155), se calculează înmulțind toți factorii primi comuni ai numărătorului și numitorului, la puterile lor cele mai mici (având exponenții cei mai mici):
- cmmdc (315; 1.155) = (32 × 5 × 7; 3 × 5 × 7 × 11) = 3 × 5 × 7 = 105
3) Împarte atât numărătorul, cât și numitorul fracției la cel mai mare divizor comun al acestora, cmmdc.
- Număratorul și numitorul fracției sunt împărțite la cel mai mare divizor comun al lor, cmmdc:
- 315 /1.155 =
(32 × 5 × 7)/(3 × 5 × 7 × 11) =
((32 × 5 × 7) : (3 × 5 × 7)) / ((3 × 5 × 7 × 11) : (3 × 5 × 7)) =
3/11 - Fracția astfel obținută se numește fracție simplificată la cea mai simplă formă echivalentă, ireductibilă.
De ce simplificăm fracțiile la forma ireductibilă?
- Când avem de efectuat operații cu fracții, ni se cere adesea să le aducem la același numitor, de exemplu atunci când adunăm, scădem sau comparăm fracții.
- Uneori, atât numărătorii, cât și numitorii acelor fracții sunt numere mari și poate fi dificil să faci calcule cu astfel de numere.
- Prin simplificarea unei fracții, atât numărătorul cât și numitorul unei fracții sunt reduse la valori mai mici, cu care este mult mai ușor de lucrat, reducând astfel efortul total.