Un număr prim este un număr natural, mai mare decât 1, care se împarte fără rest doar la 1 și la el însuși.
Orice număr prim "m" are doar doi divizori: numărul în sine, "m" și numărul 1. Acești doi divizori se numesc divizori improprii. Deci un număr prim nu are decât divizori improprii.
Exemple de numere prime:
1 nu este considerat număr prim, deci cel mai mic număr prim este 2 (lista de numere prime începe cu numărul 2).
2 este divizibil doar cu 2 și 1, deci 2 este un număr prim.
3 este divizibil doar cu 3 și 1, deci 3 este un număr prim.
5 este divizibil doar cu 5 și 1, deci 5 este un număr prim.
13 este divizibil doar cu 13 și 1, deci 13 este un număr prim.
2. Teorema fundamentală a aritmeticii
Teorema fundamentală a aritmeticii spune că orice număr natural mai mare decât 1 poate fi scris ca produs al unuia sau a mai multor numere prime, într-un mod unic, cu excepția ordinii factorilor primi.
De ce 1 nu este considerat număr prim? Dacă 1 ar fi considerat număr prim, atunci descompunerea în factori primi a numărului 15, de exemplu, ar putea fi: 15 = 3 × 5 sau 15 = 1 × 3 × 5. Aceste două reprezentări ar fi considerate ca fiind două descompuneri diferite în factori primi ale aceluiași număr, 15, deci afirmația teoremei fundamentale nu ar mai fi adevărată.
3. Numere compuse
Un număr compus este un număr natural care are cel puțin un divizor pozitiv, altul decât 1 și numărul însuși. Înseamnă că numerele compuse au și alți divizori decât cei improprii. Divizorii unui număr care sunt diferiți de divizorii improprii se numesc divizori proprii.
Un număr compus este, de asemenea, orice număr mai mare decât 1 care nu este număr prim.
Descompunerea în factori primi a unui număr: scrierea numărului ca produs de numere prime.
Exemple de numere compuse:
4 este divizibil cu 4, 2 și 1, deci 4 nu este un număr prim, este un număr compus. Descompunerea în factori primi a lui 4 = 2 × 2 = 22
Prima notă: A doua parte a descompunerii în factori primi a lui 4 este scrisă folosind puteri și exponenți și este o scriere condensată a descompunerii.
A doua notă: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Spunem că 2 a fost ridicat la puterea a 3-a, sau, mai scurt, spunem: 2 la puterea a 3-a, sau, și mai scurt, 2 la a 3-a. În acest exemplu, 3 este exponentul și 2 este baza. Exponentul indică de câte ori se înmulțește baza cu ea însăși. 23 este puterea și 8 este valoarea puterii.
6 este divizibil cu 6, 3, 2 și 1, deci 6 nu este un număr prim, este un număr compus. Descompunerea în factori primi a lui 6 = 2 × 3
8 este divizibil cu 8, 4, 2 și 1, deci 8 nu este un număr prim, ci este un număr compus. Descompunerea în factori primi este 8 = 23
9 este divizibil cu 9, 3 și 1, deci 9 nu este un număr prim, este un număr compus. Descompunerea sa în factori primi: 9 = 32
Numerele prime sunt blocurile de bază ale tuturor numerelor, având în vedere că fiecare număr poate fi scris ca produs al unuia sau a mai multor numere prime. Fiecare număr compus poate fi scris ca produs de cel puțin două numere prime.
EUCLID (300 î.Hr.) a demonstrat că, deoarece mulțimea numerelor naturale sau întregi este infinită, de asemenea, mulțimea numerelor prime este infinită, fără un număr prim cel mai mare.
Nu există o formulă simplă cunoscută care să deosebească toate numerele prime de cele compuse.