Numere coprime, prime între ele, relativ prime: 238 și 391?

238 și 391 nu sunt coprime dacă au factori primi în comun, adică dacă cel mai mare divizor comun al lor, cmmdc, nu este 1.

coprime (8.155; 391)? ... (238; 5.449)?

Calculează cel mai mare divizor comun, cmmdc.
Două metode utilizate mai jos.

Metoda 1. Descompunerea numerelor întregi în factori primi:

Descompunerea în factori primi a unui număr înseamnă găsirea numerelor prime care înmulțite dau ca rezultat acel număr.


238 = 2 × 7 × 17;
238 nu e prim, e număr compus;


391 = 17 × 23;
391 nu e prim, e număr compus;


* Numerele pozitive întregi care nu se divid decât cu ele însele și cu 1, se numesc numere prime. Un număr prim are doar doi divizori: 1 și el însuși.
* Un număr compus e un întreg pozitiv care are cel puțin un divizor diferit de 1 și de numărul însuși.


Calculează cel mai mare divizor comun:

Se înmulțesc toți factorii primi comuni, la puterile cele mai mici.


cmmdc (238; 391) = 17;



Numere coprime (prime între ele) (238; 391)? Nu.
Numerele au factori primi comuni.
cmmdc (238; 391) = 17.

>> Descompunerea numerelor întregi în factori primi


Metoda 2. Algoritmul lui Euclid:

Acest algoritm implică operația de împărțire și calcularea resturilor.


'a' și 'b' sunt cele două numere întregi pozitive, 'a' >= 'b'.


Împarte 'a' la 'b' și obține restul, 'r'.


Dacă 'r' = 0, STOP. 'b' = CMMDC al 'a' și 'b'.


Altfel: Înlocuiește ('a' cu 'b') și ('b' cu 'r'). Revino la pasul împărțirii, de mai sus.



Pasul 1. Împarte numărul mai mare la numărul mai mic:
391 : 238 = 1 + 153;
Pasul 2. Împarte numărul mai mic la restul operației de mai sus:
238 : 153 = 1 + 85;
Pasul 3. Împarte restul de la pasul 1 la restul de la pasul 2:
153 : 85 = 1 + 68;
Pasul 4. Împarte restul de la pasul 2 la restul de la pasul 3:
85 : 68 = 1 + 17;
Pasul 5. Împarte restul de la pasul 3 la restul de la pasul 4:
68 : 17 = 4 + 0;
La acest moment, restul e zero, ne oprim:
17 e numărul căutat, ultimul rest diferit de zero.
Acesta e cel mai mare divizor comun.


cmmdc (238; 391) = 17;

De ce răspunsul este un divizor al valorilor inițiale 'a' și 'b'?

Notă: 'a' : 'b' = 'q' + 'r' este echivalent cu ecuația: 'a' = 'q' × 'b' + 'r', unde 'q' este câtul operației.


Când valoarea finală a lui 'r' = 0, valoarea finală a lui 'b' este un divizor al valorii finale a lui 'a', deoarece 'a' = 'q' × 'b' + 0.


Mergi înapoi prin pașii anteriori și analizează fiecare ecuație, 'a' = 'q' × 'b' + 'r', și observă că la fiecare pas, valoarea finală a lui 'b' este un divizor al fiecărei valori a lui 'r' și a fiecărei valori a lui 'b' și, prin urmare, este un divizor al fiecărei valori a lui 'a'. Deci ultima valoare a lui 'b', care este ultimul rest diferit de zero, este un divizor al valorilor inițiale ale 'a' și 'b'.


De ce e răspunsul egal cu CMMDC?

Ne uităm la toate ecuațiile: 'a' = 'q' × 'b' + 'r'. După cum am văzut mai sus, valoarea finală a lui 'b' este un divizor al tuturor valorilor 'a', 'b' și 'r'.


Prin urmare, valoarea finală a lui 'b' trebuie să fie, de asemenea, un divizor al ultimei valori a lui 'r', cea care e diferită de zero. Iar valoarea finală a 'b' nu poate fi mai mare decât această ultima valoare a lui 'r'. Însă valoarea finală a lui 'b' e egală cu acea ultimă valoare a lui 'r', prin urmare valoarea finală a lui 'b' e cel mai mare divizor al valorilor inițiale ale lui ('a' și 'b'). Și prin definiție se numește cel mai mare divizor comun al numerelor.


Numere coprime (prime între ele) (238; 391)? Nu.
cmmdc (238; 391) = 17.

>> Algoritmul lui Euclid

Răspuns final:

238 și 391 nu sunt coprime dacă au factori primi în comun, adică dacă cel mai mare divizor comun al lor, cmmdc, nu este 1.
Numere coprime (prime între ele) (238; 391)? Nu.
cmmdc (238; 391) = 17.

Mai multe operații de acest fel:

coprime (8.155; 391)? ... (238; 5.449)?

Calculator online: numere coprime (numere prime între ele)?

Numere coprime sau nu (prime între ele sau nu)? Ultimele operații

Numere coprime (prime între ele)

Două numere întregi "a" și "b" sunt prime între ele dacă nu au alt factor comun în afară de 1, sau, altfel spus, dacă cel mai mare divizor comun al lor este 1.

De exemplu, 16 și 17 sunt numere coprime, însă 16 și 24 nu sunt, pentru că ambele se divid cu 8. 1 e coprim cu orice număr întreg; 0 e coprim doar cu 1 și -1. Algoritmul lui Euclid reprezintă o metodă rapidă de a afla dacă două numere sunt sau nu prime între ele: Algoritmul lui Euclid


Ce este un număr prim?

Ce este un număr compus?

Numerele prime până la 1.000

Numerele prime până la 10.000

Ciurul lui Eratostene

Algoritmul lui Euclid

Simplificarea fracțiilor, cum se simplifică fracțiile ordinare: pași de urmat și exemple