Sunt cele două numere coprime (prime între ele, relativ prime)?
Două numere naturale sunt coprime (prime între ele, relativ prime) - dacă nu există niciun număr care să împartă ambele numere fără rest, adică dacă cel mai mare divizor comun al lor, cmmdc, este 1.
Două numere naturale nu sunt prime între ele - dacă există cel puțin un număr care împarte cele două numere fără rest, adică dacă cel mai mare divizor comun al lor, cmmdc, nu este 1.
Numere coprime (numite și: numere prime între ele, relativ prime)
Numărul "a" și "b" se spune că sunt coprime, prime între ele sau relativ prime dacă singurul număr întreg pozitiv la care se împart acestea fără rest este 1.
Numerele coprime sunt perechi de (cel puțin două) numere care nu au niciun alt divizor comun decât 1.
Când singurul divizor comun este 1, atunci acesta este, de asemenea, echivalent cu cel mai mare divizor comun fiind egal cu 1.
Exemple de perechi de numere coprime:
Numerele coprime nu sunt neapărat numere prime în sine, de exemplu 4 și 9 - aceste două numere nu sunt prime, sunt numere compuse, deoarece 4 = 2 × 2 = 22 și 9 = 3 × 3 = 32. Dar neavând niciun divizor comun, mcd (4, 9) = 1, deci sunt numere coprime, sau prime între ele, sau relativ prime.
Uneori, numerele coprime dintr-o pereche sunt ele însele numere prime, de exemplu (3 și 5), sau (7 și 11), (13 și 23).
Alteori, numerele care sunt prime între ele pot fi sau nu numere prime, de exemplu (5 și 6), (7 și 12), (15 și 23).
Exemple de perechi de numere care nu sunt coprime:
16 și 24 nu sunt coprime, deoarece ambele sunt divizibile cu 1, 2, 4 și 8 (1, 2, 4 și 8 sunt divizorii lor comuni).
6 și 10 nu sunt coprime, deoarece ambele sunt divizibile cu 1 și 2.
Unele proprietăți ale numerelor coprime:
Cel mai mare divizor comun a două numere coprime este întotdeauna 1.
Cel mai mic multiplu comun, cmmmc, a două numere coprime este întotdeauna egal cu produsul lor: cmmmc (a, b) = a × b.
Numerele 1 și -1 sunt singurele numere întregi coprime cu orice alt număr întreg, de exemplu (1 și 2), (1 și 3), (1 și 4), (1 și 5), (1 și 6), și așa mai departe, toate acestea sunt perechi de numere coprime, deoarece cel mai mare divizor comun al lor este 1.
Numerele 1 și -1 sunt singurele numere întregi coprime cu 0.
Orice două numere prime sunt întotdeauna și coprime, de exemplu (2 și 3), (3 și 5), (5 și 7) și așa mai departe.
Orice două numere consecutive sunt coprime, de exemplu (1 și 2), (2 și 3), (3 și 4), (4 și 5), (5 și 6), (6 și 7), (7 și 8), (8 și 9), (9 și 10) și așa mai departe.
Suma a două numere coprime, a + b, este întotdeauna relativ primă cu produsul lor, a × b.
De exemplu, 7 și 10 sunt numere coprime, 7 + 10 = 17, suma este relativ primă cu 7 × 10 = 70. Un alt exemplu, 9 și 11 sunt coprime, iar suma lor, 9 + 11 = 20, este relativ primă cu produsul lor, 9 × 11 = 99.
O modalitate rapidă de a determina dacă două numere sunt prime între ele este de a aplica Algoritmul lui Euclid: Algoritmul lui Euclid