[EN] This operation in English: Is the number 720 divisible by 18? Can the first number be divided evenly by the second (without a remainder)? Compare the prime factorizations of the two numbers

Divizibilitatea numerelor naturale:

Metoda 1: Împarte numerele și verifică restul operației. Dacă restul este zero, atunci numerele sunt divizibile.

Metoda 2: Descompunerea numerelor în factori primi.

• 1. Divizibilitate:

• Se spune că un număr natural este divizibil cu un alt număr natural dacă după împărțirea celor două numere, restul operației este zero.
• Exemplu: Să împărțim două numere diferite: 12 și 15, la 4.
• Când împărțim 12 la 4, câtul este 3 și restul operației este zero.
• Dar când împărțim 15 la 4, câtul este 3 și restul este 3.
• Spunem că numărul 12 este divizibil cu 4 și 15 nu este divizibil cu 4.
• De asemenea, spunem că 4 este un divizor al lui 12, dar nu este un divizor al lui 15.

• Spunem că numărul "a" este divizibil cu "b", dacă există un număr întreg "n", astfel încât:
• a = n × b.
• Numărul "b" se numește divizor al lui "a" ("n" este și el un divizor al lui "a").

• 2. Câteva reguli de divizibilitate:

• 0 este divizibil cu orice număr, altul decât el însuși.
• 1 este un divizor al oricărui număr.
• Divizori improprii: Orice număr "a", diferit de zero, este divizibil cel puțin cu 1 și cu el însuși. În acest caz, numărul 1 și numărul însuși, "a", se numesc divizori improprii.
• Numere prime: un număr care este divizibil numai cu 1 și cu el însuși este numit număr prim.
• Numerele coprime: Dacă cel mai mare divisor comun a două numere, "m" și "n", cmmdc (m; n) = 1 - atunci înseamnă că cele două numere sunt coprime, cu alte cuvinte, nu au alt divizor decât 1. Dacă un număr "a" este divizibil cu aceste două numere coprime, "m" și "n", atunci "a" este divizibil și cu produsul lor, (m × n).
  • Exemplu:
  • Numărul 84 este divizibil cu 4 și 3 și este, de asemenea, divizibil cu 4 × 3 = 12.
  • Acest lucru este adevărat deoarece cei doi divizori, 3 și 4, sunt primi între ei.

• 3. Calcularea divizorilor:

• Calculul divizorilor ai unui număr este foarte utilă la simplificarea fracțiilor.
• Regulile stabilite pentru aflarea divizorilor se bazează pe faptul că numerele sunt scrise în sistem zecimal:
• Multiplii lui 10 sunt divizibili cu 2 și 5, deoarece 10 este divizibil cu 2 și 5
• Multiplii lui 100 sunt divizibil cu 4 și 25, deoarece 100 este divizibil cu 4 și 25
• Multiplii lui 1.000 sunt divizibil cu 8, deoarece 1.000 este divizibil cu 8.
• Toate puterile lui 10, atunci când sunt împărțite la 3, sau la 9, au un rest egal cu 1.

• Datorita regulilor operațiilor cu rest, avem urmatoarele resturi la împărțirea numerelor la 3 sau la 9:
• 600 lasă un rest egal cu 6 = 1 × 6 (1 pentru fiecare 100)
• 240 = 2 × 100 + 4 × 10, atunci restul va fi egal cu 2 × 1 + 4 × 1 = 6

• Când un număr este împărțit la 3 sau la 9, restul este egal cu ceea ce se obține împărțind suma cifrelor acelui număr la 3 sau la 9:
• 7.309 are suma cifrelor sale: 7 + 3 + 0 + 9 = 19, care se împarte cu rest fie la 3, fie la 9. Deci 7.309 nu este divizibil nici cu 3, nici cu 9.

• Toate puterile pare ale lui 10, cum ar fi 10² = 100, 10⁴ = 10.000, 10⁶ = 1.000.000, și așa mai departe, atunci când sunt împărțite la 11, au un rest egal cu 1.
• Toate puterile impare ale lui 10, cum ar fi 10¹ = 10, 10³ = 1.000, 10⁵ = 100.000, 10⁷ = 10.000.000 și așa mai departe, atunci când se împart la 11, au un rest egal cu 10. În acest caz, suma cifrelor de pe poziții impare minus suma cifrelor de pe poziții pare ale numărului (suma alternativă a cifrelor numărului) are același rest ca și numărul însuși atunci când este împărțit la 11.
• Cum se calculează suma alternativă a cifrelor - se poate vedea în exemplul de mai jos.

• De exemplu, pentru numărul 85.976. Acesta are cinci cifre, cele de pe pozițiile impare sunt 6, 9, 8, cele de pe pozițiile pare sunt 7, 5: 6 + 9 + 8 = 23, 7 + 5 = 12, suma alternativă a cifrelor: 23 - 12 = 11. Deci 85.976 este divizibil cu 11.

• 4. Modalități rapide de a determina dacă un număr este divizibil cu altul sau nu:

• 2, dacă ultima cifră este divizibilă cu 2. Dacă ultima cifră a unui număr este 0, 2, 4 , 6 sau 8, atunci numărul este divizibil cu 2. De exemplu, numărul 20: 0 este divizibil cu 2, deci atunci 20 trebuie să fie divizibil cu 2 (într-adevăr: 20 = 2 × 10).
• 3, dacă suma cifrelor numărului este divizibilă cu 3. De exemplu, numărul 126: suma cifrelor este 1 + 2 + 6 = 9, care este divizibil cu 3. Atunci și numărul 126 trebuie să fie divizibil cu 3 (într-adevăr: 126 = 3 × 42).
• 4, dacă ultimele două cifre ale numărului alcătuiesc un număr care este divizibil cu 4. De exemplu 124: 24 este divizibil cu 4 (24 = 4 × 6), deci 124 este și divizibil cu 4 (într-adevăr: 124 = 4 × 31).
• 5, dacă ultima cifră este divizibilă cu 5 (ultima cifră este 0 sau 5). De exemplu 100: ultima cifră, 0, este divizibil cu 5, atunci numărul 100 trebuie să fie divizibil cu 5 (într-adevăr: 100 = 5 × 20).
• 6, dacă numărul este divizibil atât cu 2, cât și cu 3. De exemplu, numărul 24 este divizibil cu 2 (24 = 2 × 12) și este, de asemenea, divizibil cu 3 (24 = 3 × 8), atunci trebuie să fie divizibil cu 6. Într-adevăr, 24 = 6 × 4.
• 7, dacă ultima cifră a numărului (cifra unității), dublată, scăzută din numărul format din restul cifrelor dă un număr care este divizibil cu 7. Procesul poate se repetă până se obține un număr mai mic. De exemplu, este numărul 294 divizibil cu 7? Aplicam algoritmul: 29 - (2 × 4) = 29 - 8 = 21. 21 este divizibil cu 7. 21 = 7 × 3. Dar am fi putut aplica din nou algoritmul, de data aceasta pe numărul 21: 2 - (2 × 1) = 2 - 2 = 0. Zero este divizibil cu 7, deci 21 trebuie să fie divizibil cu 7. Dacă 21 este divizibil cu 7, atunci 294 trebuie să fie divizibil cu 7.
• 8, dacă ultimele trei cifre ale numărului formează un număr care este divizibil cu 8. De exemplu, numărul 2.120: 120 este divizibil cu 8 deoarece 120 = 8 × 15. Atunci 2.120 trebuie să fie și divizibil cu 8. Dovada: dacă împărțim numerele, 2.120 = 8 × 265.
• 9, dacă suma cifrelor numărului este divizibilă cu 9. De exemplu, numărul 270 are suma cifrelor egală cu 2 + 7 + 0 = 9, care este divizibil cu 9. Atunci 270 trebuie să fie și el divizibil cu 9. Într-adevăr: 270 = 9 × 30.
• 10, dacă ultima cifră a numărului este 0. De exemplu, 140 este divizibil cu 10, deoarece 140 = 10 × 14.
• 11 dacă suma alternativă a cifrelor este divizibilă cu 11. De exemplu, numărul 2.915 are suma alternativă a cifrelor egală cu: (5 + 9) - (1 + 2) = 14 - 3 = 11, care este divizibil cu 11. Atunci și numărul 2.915 trebuie să fie divizibil cu 11: 2.915 = 11 × 265.
• 25, dacă ultimele două cifre ale numărului formează un număr care este divizibil cu 25. De exemplu, numărul format din ultimele două cifre ale numărului 275 este 75, care este divizibil cu 25, deoarece 75 = 25 × 3. Atunci 275 trebuie să fie și divizibil cu 25: 275 = 25 × 11.

Ce este un număr prim? Definiție, exemple

Ce este un număr compus? Definiție, exemple

Numerele prime până la 1.000

Numerele prime până la 10.000

Ciurul lui Eratostene

Algoritmul lui Euclid

Simplifică fracții la cea mai simplă formă: pași și exemple