- O fracție este simplificată la forma sa echivalentă cea mai simplă, ireductibilă, dacă nu mai poate fi simplificată mai mult de atât, adică are deja cel mai mic numărător și numitor posibil - care sunt numere prime unul față de celălalt (sunt numere coprime).
- 1. Efectuează descompunerea în factori primi atât a numărătorului, cât și a numitorului fracției. Descompunerea numerelor în factori primi, aici: ⇒ descompunerea numerelor în factori primi
- 2. Calculează cel mai mare divizor comun, cmmdc, al numărătorului și numitorului fracției. Calculează cmmdc, aici: ⇒ calculează cel mai mare divizor comun, cmmdc, al numerelor
- 3. Împarte atât numărătorul, cât și numitorul fracției la cel mai mare divizor comun al acestora, cmmdc.
- Fracția astfel obținută se numește fracție simplificată sau o fracție simplificată la cea mai simplă formă echivalentă.
- O fracție simplificată la cea mai simplă formă echivalentă are cel mai mic numărător și numitor posibili, care sunt numere prime între ele (coprime), ea nu mai poate fi simplificată și se numește fracție ireductibilă.
- Cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului unei fracții ireductibile este egal cu 1.
Tipuri de fracții:
- Fracție subunitară (în ultimul timp, se mai folosește și termenul: fracție proprie): o fracție în care numitorul este mai mare decât numărătorul. Exemplu: 1/3, 2/6, 24/32
- Fracție supraunitară (în ultimul timp se folosește și termenul: fracție improprie): o fracție în care numitorul este mai mic decât numărătorul. Exemplu: 3/2, 7/2, 36/34
- Fracție echiunitară: o fracție în care numitorul este egal cu numărătorul. Exemplu: 3/3, 7/7, 36/36
Exemplu 1: Simplificați fracția subunitară (proprie) 24/32 la cea mai simplă formă, ireductibilă.
1) Efectuează descompunerea în factori primi atât a numărătorului, cât și a numitorului fracției.
- Numărătorul fracției, 24, descompunerea sa în factori primi este:
24 = 23 × 3. - Numitorul fracției, 32, descompunerea sa în factori primi este: 32 = 25.
2) Calculează cel mai mare divizor comun, cmmdc, al numărătorului și numitorului fracției.
- Cel mai mare divizor comun, cmmdc (24; 32), se calculează prin înmulțirea tuturor factorilor comuni ai numărătorului și ai numitorului, luați la puterile lor cele mai mici (cu exponenții cei mai mici):
- cmmdc (24; 32) = (23 × 3; 25) = 23 = 8.
3) Împarte atât numărătorul, cât și numitorul fracției la cel mai mare divizor comun al acestora.
- Atât numărătorul, cât și numitorul fracției sunt împărțite la cel mai mare divizor comun, cmmdc:
- 24/32 =
(24 : 8)/(32 : 8) =
(23 × 3 : 23)/(25 : 23) =
3/4 - Fracția astfel obținută se numește fracție simplificată la forma sa echivalentă cea mai simplă; în acest caz, aceasta este o fracție ireductibilă (adică nu se mai poate simplifica, are cel mai mic numărător și numitor posibil, care sunt numere prime între ele).
Exemplu 2: Simplificați fracția subunitară (proprie) 130/455 la cea mai simplă formă, ireductibilă.
1) Efectuează descompunerea în factori primi atât a numărătorului, cât și a numitorului fracției.
- Numărătorul fracției, 130, descompunerea sa în factori primi este:
130 = 2 × 5 × 13. - Numitorul fracției, 455, descompunerea sa în factori primi este:
455 = 5 × 7 × 13. 2) Calculează cel mai mare divizor comun, cmmdc, al numărătorului și numitorului fracției.
- Cel mai mare divizor comun, cmmdc (130; 455), se calculează prin înmulțirea tuturor factorilor comuni atât ai numărătorului, cât și ai numitorului, luați la puterile lor cele mai mici (cu exponenții cei mai mici):
- cmmdc (130; 455) = (2 × 5 × 13; 5 × 7 × 13) = 5 × 13 = 65.
3) Împarte atât numărătorul, cât și numitorul fracției la cel mai mare divizor comun al acestora, cmmdc.
- Atât numărătorul cât și numitorul fracției sunt împărțite la cel mai mare divizor comun, cmmdc:
- 130/455 =
(2 × 5 × 13)/(5 × 7 × 13) =
((2 × 5 × 13) : (5 × 13)) / ((5 × 7 × 13) : (5 × 13)) =
2/7 - Fracția astfel obținută se numește fracție simplificată la forma sa echivalentă cea mai simplă; în acest caz, aceasta este o fracție ireductibilă (adică nu se mai poate simplifica, are cel mai mic numărător și numitor posibil, care sunt numere prime între ele).
Exemplu 3: Simplificați fracția subunitară (proprie) 315/1.155 la cea mai simplă formă, ireductibilă.
1) Efectuează descompunerea în factori primi atât a numărătorului, cât și a numitorului fracției.
- Numărătorul fracției, 315, descompunerea sa în factori primi este:
315 = 3 × 3 × 5 × 7 = 32 × 5 × 7 - Numitorul fracției, 1.155, descompunerea sa în factori primi este:
1.155 = 3 × 5 × 7 × 11. 2) Calculează cel mai mare divizor comun, cmmdc, al numărătorului și numitorului fracției.
- Cel mai mare divizor comun, cmmdc (315; 1.155), se calculează prin înmulțirea tuturor factorilor comuni atât ai numărătorului, cât și ai numitorului, luați la puterile lor cele mai mici (cu exponenții cei mai mici):
- cmmdc (315; 1.155) = (32 × 5 × 7; 3 × 5 × 7 × 11) = 3 × 5 × 7 = 105
3) Împarte atât numărătorul, cât și numitorul fracției la cel mai mare divizor comun al acestora, cmmdc.
- Atât numărătorul cât și numitorul fracției sunt împărțite la cel mai mare divizor comun, cmmdc:
- 315/1.155 =
(32 × 5 × 7)/(3 × 5 × 7 × 11) =
((32 × 5 × 7) : (3 × 5 × 7)) / ((3 × 5 × 7 × 11) : (3 × 5 × 7)) =
3/11 - Fracția astfel obținută se numește fracție simplificată la forma sa echivalentă cea mai simplă; în acest caz, aceasta este o fracție ireductibilă (adică nu se mai poate simplifica, are cel mai mic numărător și numitor posibil, care sunt numere prime între ele).
Exemplu 4: Simplificați fracția supraunitară (improprie) 455/130 la cea mai simplă formă, ireductibilă.
1) Efectuează descompunerea în factori primi atât a numărătorului, cât și a numitorului fracției.
- Numărătorul fracției, 455, descompunerea sa în factori primi este:
455 = 5 × 7 × 13 - Numitorul fracției, 130, descompunerea sa în factori primi este:
130 = 2 × 5 × 13 2) Calculează cel mai mare divizor comun, cmmdc, al numărătorului și numitorului fracției.
- Cel mai mare divizor comun, cmmdc (455; 130), se calculează prin înmulțirea tuturor factorilor comuni atât ai numărătorului, cât și ai numitorului, luați la puterile lor cele mai mici (cu exponenții cei mai mici):
- cmmdc (455; 130) = (5 × 7 × 13; 2 × 5 × 13) = 5 × 13 = 65
3) Împarte atât numărătorul, cât și numitorul fracției la cel mai mare divizor comun al acestora, cmmdc.
- Atât numărătorul cât și numitorul fracției sunt împărțite la cel mai mare divizor comun, cmmdc:
- 455/130 =
(5 × 7 × 13)/(2 × 5 × 13) =
((5 × 7 × 13) : (5 × 13)) / ((2 × 5 × 13) : (5 × 13)) =
7/2 - Fracția astfel obținută se numește fracție simplificată la forma sa echivalentă cea mai simplă; în acest caz, aceasta este o fracție ireductibilă (adică nu se mai poate simplifica, are cel mai mic numărător și numitor posibil, care sunt numere prime între ele).
- Dar există mai mult: o fracție supraunitară (improprie) poate fi scrisă ca sumă între un întreg și o fracție proprie.
- În cazul nostru:
- 7/2 =
(2 × 3 + 1)/2 =
(2 × 3)/2 + 1/2 =
3/1 + 1/2 =
3 + 1/2 =
3 1/2 - 3 1/2 se numește fracție mixtă (sau număr mixt).
De ce simplificăm fracțiile la forma ireductibilă?
- Când avem de efectuat operații cu fracții, ni se cere adesea să le aducem la același numitor, de exemplu atunci când adunăm, scădem sau comparăm fracții.
- Uneori, atât numărătorii, cât și numitorii acelor fracții sunt numere mari și poate fi dificil să faci calcule cu astfel de numere.
- Prin simplificarea unei fracții, atât numărătorul cât și numitorul unei fracții sunt reduse la valori mai mici, cu care este mult mai ușor de lucrat, reducând astfel efortul total.