Descompunerea numărului compus 660 în factori primi, scrisă ca produs de numere prime, cu exponenți, puteri
Descompunerea în factori primi a numărului compus 660
Descompunerea în factori primi a unui număr: găsirea numerelor prime care se înmulțesc pentru a obține acel număr.
Exemplu: 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3.
Număr prim: un număr natural care e divizibil (se împarte fără rest) numai cu 1 și cu el însuși. Un număr prim are doar doi divizori: 1 și numărul însuși.
Exemple: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Număr compus: un număr natural care are cel puțin un divizor diferit de 1 și de el însuși. Un număr compus are cel puțin trei divizori. Un număr compus este, de asemenea, un număr care nu este număr prim.
Exemple: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16.
Numerele 0 și 1 nu sunt considerate nici numere prime, nici compuse.
660 se poate scrie ca produs de numere prime.
Cum?
660 nu este număr prim, ci compus.
Descompunerea în factori primi a numărului compus 660:
(descompunerea scrisă ca produs de factori primi)
660 = 2 × 2 × 3 × 5 × 11
Descompunerea în factori scrisă ca produs de puteri de factori primi (cu exponenți): *
660 = 22 × 3 × 5 × 11
* Un număr scris cu exponenți este o bază ridicată la exponent (spunem: baza ridicată la puterea exponentului). Exponentul indică de câte ori este înmulțită baza cu ea însăși: 53 = 5 × 5 × 5 = 125. În acest caz spunem 5 ridicat la puterea a 3-a, sau mai simplu, 5 la puterea a 3-a, sau și mai simplu, 5 la a 3-a. 53 este puterea, 5 este baza, 3 este exponentul și 125 este valoarea puterii.
Numerele prime sunt blocurile de bază ale tuturor numerelor, cu excepția lui 0 și 1.
Numerele compuse constau din numere prime care sunt înmulțite.
Există un singur număr prim care este număr par: 2. Toate celelalte numere prime sunt numere impare.
Descompunerea în factori primi a unui număr, cum se face?
Să învățăm printr-un exemplu:
- Să luăm numărul 220 și să-i construim descompunerea în factori primi
Avem nevoie de cele mai mici numere prime, ordonate crescător, de la 2 până la, să zicem, 20:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Numerele prime sunt elementele de bază ale numerelor compuse.
1. Începem prin a împărți 220 la cel mai mic număr prim, 2:
220 : 2 = 110; rest = 0 =>
220 este divizibil cu 2 => 2 este un factor prim al lui 220:
220 = 2 × 110.
Articolul continuă mai jos...
2. Împărțim rezultatul operației anterioare, 110, la 2, din nou:
110 : 2 = 55; rest = 0 =>
110 este divizibil cu 2 => 2 este un factor prim al lui 110:
220 = 2 × 110 = 2 × 2 × 55.
3. Împărțim rezultatul operației anterioare, 55, la 2, din nou:
55 : 2 = 27 + 1; rest = 1 =>
55 nu este divizibil cu 2.
4. Trecem la următorul număr prim, 3. Împărțim 55 la 3:
55 : 3 = 18 + 1; rest = 1 =>
55 nu este divizibil cu 3.
5. Trecem la următorul număr prim, 5. Împărțim 55 la 5:
55 : 5 = 11; rest = 0 =>
55 este divizibil cu 5 => 5 este un factor prim al lui 55:
220 = 2 × 2 × 55 = 2 × 2 × 5 × 11.
6. Observăm că factorul rămas, 11, este un număr prim, așa că am găsit deja toți factorii primi ai lui 220.
Concluzie, descompunerea în factori primi a lui 220:
220 = 2 × 2 × 5 × 11.
Aceasta poate fi scrisă într-o formă condensată, în scrierea cu puteri (cu exponenți):
220 = 22 × 5 × 11.
Alte operații similare cu factori primi:
Numere prime sau compuse? Cele mai recente 5 numere pentru care s-a efectuat descompunerea în factori primi
Calculator online: Număr prim sau nu? Descompunerea în factori primi
Descompunerea în factori primi a unui număr N = Împărțirea numărului N în numere mai mici, prime. Înmulțind apoi aceste numere prime se obține numărul N. În urma procesului de descompunere numărul N este scris ca produs de numere prime.
Un număr prim este un număr natural care este divizibil doar cu 1 și cu el însuși. Numărul 1 nu e considerat număr prim.
Numere prime. Numerele compuse. Descompunerea în factori primi a numerelor compuse
- Descompunerea în factori primi a unui număr: găsirea numerelor prime care se înmulțesc împreună pentru a rezulta acel număr.
- Teorema fundamentală a aritmeticii spune că fiecare număr întreg mai mare decât 1 poate fi scris ca produs al unuia sau a mai multor numere prime, într-un mod care este unic, cu excepția ordinii factorilor primi.
- Numărul 1 nu este considerat prim, deci cel mai mic număr prim este 2.
- Dacă numărul 1 ar fi considerat număr prim, atunci descompunerea în factori primi a numărului 15 s-ar putea scrie fie: 15 = 3 × 5 sau 15 = 1 × 3 × 5 - aceste două reprezentări ar fi considerate descompuneri diferite în factori primi ale aceluiași număr, deci teorema de mai sus nu ar mai fi fost validă.
- Numerele naturale care se împart fără rest doar la 1 și la ele însele se numesc numere prime.
- Exemple de numere prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 și așa mai departe.
- Dacă un număr este prim, nu poate fi descompus în alți factori primi, este divizibil doar cu 1 și cu el însuși. În acest caz, 1 și numărul însuși se numesc divizori improprii.
- Un număr compus este un număr natural care are cel puțin un alt divizor decât 1 și numărul însuși. Dacă numărul 1 și numărul însuși se numesc divizori improprii, toți ceilalți divizori se numesc divizori proprii, ex: 8 are doi divizori impropii, 1 și 8, și doi divizori proprii: 2 și 4.
- Un număr compus este, de asemenea, orice număr natural mai mare decât 1 care nu este număr prim.
- Exemple de numere compuse: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26 și așa mai departe.
- Un număr prim nu poate fi descompus în alți factori primi, dar un număr compus poate, după cum se vede mai jos:
- Exemplul 1: 6 este divizibil cu 6, 3, 2 și 1, deci 6 nu este număr prim, este număr compus. 6 poate fi scris sub formă de produs în moduri diferite, cum ar fi: 6 = 1 × 6 sau 6 = 1 × 2 × 3 sau 6 = 2 × 3. Dar descompunerea lui 6 în factori primi, mai puțin ordinea factorilor, este întotdeauna aceeași, produsul dintre 2 și 3, indiferent de ordinea în care scriem produsul: 6 = 2 × 3 (sau 6 = 3 × 2).
- Exemplul 2: 120 poate fi scris ca produsul unor factori în moduri diferite, fi ca 120 = 4 × 30 sau 120 = 2 × 2 × 2 × 15 sau 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5. Descompunerea lui în factori primi este însă întotdeauna: 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5 - ultima formă de scriere este forma condensată, cu exponenți, a primei forme, mai lungă.
- Notă: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Spunem că 2 a fost ridicat la puterea a 3-a, sau, mai scurt, spunem: 2 la puterea a 3-a, sau, și mai scurt, 2 la a 3-a. În acest exemplu, 3 este exponentul și 2 este baza. Exponentul indică de câte ori se înmulțește baza cu ea însăși. 23 este puterea și 8 este valoarea puterii.
- De ce este important să știm despre descompunerea în factori primi a numerelor?
- Descompunerea în factori primi este utilă atunci când se calculează cel mai mare divisor comun, cmmdc, al numerelor.
- CMMDC este necesar pentru simplificarea fracțiilor la forma cea mai simplă, ireductibilă.
- Descompunerea în factori primi este utilă atunci când se calculează cel mai mic multiplu comun, cmmmc, al numerelor - acest lucru este necesar atunci când se adună sau se scad fracții, de exemplu...
- Și exemplele ar putea continua (cu aplicabilitate în divizibilitatea numerelor, sau la calcularea tuturor divizorilor unui număr pornind de la descompunerea lui în factori primi etc.).
- Exemple de mai multe numere prime:
- 181 este divizibil doar cu 181 și 1, deci 181 este un număr prim.
- 2.341 este divizibil doar cu 2.341 și 1, deci 2.341 este număr prim.
- 6.991 este divizibil doar cu 6.991 și 1, deci 6.991 este un număr prim.
- Aceasta este lista tuturor numerelor prime, de la 1 la 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
- Numerele prime sunt folosite ca blocuri de bază atunci când construim descompunerea în factori primi a numerelor compuse. Deci am putea spune că numerele prime sunt într-adevăr blocurile componente ale numerelor compuse.
Câteva articole despre numerele prime